Родился 15 января 1923 года в Петрограде. В 1948 году окончил Театральное училище им. М.С.Щепкина и стал актером театра им. К.С.Станиславского, с 1954 - Театра сатиры, в 1963 - 92 - академического Малого театра. С середины пятидесятых работал в кино. Одной из первых киноролей Евгения Весника был Родриго в экранизации трагедии Шекспира "Отелло" (1955, реж. Сергей Юткевич), в дальнейшем сыграл немало характерных, преимущественно комедийных, запоминающихся персонажей - охотник в "Обыкновенном чуде" (1964, реж. Эраст Гарин), полковник в "Новых приключениях неуловимых" (1968, реж. Эдмонд Кеосаян), заведующий спортзалом в "Семь стариков и одна девушка" (1968, реж. Евгений Карелов), учитель математики в "Приключениях Электроника" (1979, реж. Константин Бромберг), прокурор в музыкальном фильме по оперетте Иоганна Штрауса "Летучая мышь" (1979, реж. Ян Фрид). В 1989 году был удостоен звания Народный артист СССР. Режиссер спектаклей в московских театрах и на телевидении, автор ряда сценариев для радио и телевидения, Евгений Весник также опубликовал несколько мемуарных книг - "Дарю, что помню", "Записки артиста", "Сумасшедшая память". Награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" IV степени. Скончался 10 апреля 2009 года в Москве.